Question

我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．

（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA＝2，OC＝l．

①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A　   　，B　   　，C　   　．

②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为　   　．

③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为　   　．

（2）若ω＝120°，O为坐标原点．

①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝4 ，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．

②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是　   　．

Answer

（1）①（2，0），（1，），（﹣1，）；②y=x；③ y=x，y=﹣x+；（2）①半径为4，M（，）；②﹣1＜r＜+1．

【解析】

（1）①如图2-1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；②如图2-2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；③如图3-3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；

（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．解直角三角形即可解决问题；②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN=NE=1时，⊙M的半径即可解决问题.

（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F，

由题意OC=CD=1，OA=BC=2，

∴BD=OE=1，OD=CF=BE=，

∴A（2，0），B（1，），C（﹣1，），

故答案为（2，0），（1，），（﹣1，）；

②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M，

∵OD∥BE，OD∥PM，

∴BE∥PM，

∴=，

∴，

∴y=x；

③如图2﹣3中，作QM∥OA交OD于M，

则有，

∴，

∴y=﹣x+，

故答案为y=x，y=﹣x+；

（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N，

∵ω=120°，OM⊥y轴，

∴∠MOA=30°，

∵MF⊥OA，OA=4，

∴OF=FA=2，

∴FM=2，OM=2FM=4，

∵MN∥y轴，

∴MN⊥OM，

∴MN=，ON=2MN=，

∴M（，）；

②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．

∵MK∥x轴，ω=120°，

∴∠MKO=60°，

∵MK=OK=2，

∴△MKO是等边三角形，

∴MN=，

当FN=1时，MF=﹣1，

当EN=1时，ME=+1，

观察图象可知当⊙M的半径r的取值范围为﹣1＜r＜+1．

故答案为：﹣1＜r＜+1．