Question

如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC平分∠BAD，点E为AB的延长线上一点，且∠ECB=∠CAD．

（1）①填空：∠ACB=         ，理由是                   ；

②求证：CE与⊙O相切；

（2）若AB=6，CE=4，求AD的长．

Answer

(1)①90°；直径所对的圆周角是直角；②证明详见解析；(2)2.

【解析】

试题（1）①根据圆周角定理即可求得；

②连接OC．欲证明CE是⊙O的切线，只需证明CE⊥OC即可；

（2）根据弦切角定理求得BE，进一步求得AC=4，得出△ACE和△BCE是等腰三角形，得出BC=BE=2，进一步证得∠DAB=∠ABC，从而证得AD=BC=2．

试题解析：①∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

故答案为：90°；直径所对的圆周角是直角；

②连接OC，则∠CAO=∠ACO，

∵AC平分∠BAB，

∴∠BAC=∠CAD，

∵∠ECB=∠CAD．

∴∠BAC=∠ECB．

∴∠ECB=∠ACO，

∵∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠ECB+∠OCB=90°，即CE⊥OC．

∴CE与⊙O相切；

（2）∵CE与⊙O相切，

∴=BE•AE，

∵AB=6，CE=4，

∴=BE（BE+6），

∴BE=2，

∴AE=6+2=8，

∵△ACE∽△CBE，

∴，即，

∴AC=4，

∴AC=CE=4，

∴∠CAB=∠E，

∴∠ECB=∠E，

∴∠ABC=2∠ECB=2∠BAC，BC=BE=2，

∴∠DAB=∠ABC，

∴AD=BC=2．