Question

如图，已知正方形ABCD，点E在BC边上，将△DCE绕某点G旋转得到△CBF，点F恰好在AB边上．

（1）请画出旋转中心G （保留画图痕迹），并连接GF，GE；

（2）若正方形的边长为2a，当CE＝　   　时，S_△FGE＝S_△FBE；当CE＝　   　 时，S_△FGE＝3S_△FBE．

Answer

（1）见解析；（2）a ; 或

【解析】

（1）根据旋转图形的性质，点C与点B是对应点，点E点F是对应点，分别作线段BC、EF的垂直平分线的交点就是旋转中心点G．
（2）由旋转的性质可以得出FG=EG，∠FGE=90°，设EC=x，利用勾股定理及三角形的面积公式建立等量关系，就可以求出结论．

（1）如图：分别作线段BC、EF的垂直平分线的交点就是旋转中心点G．

（2）∵G是旋转中心，且四边形ABCD是正方形，
∴FG=EG，∠FGE=90°
∵S△FGE=,且由勾股定理，得2FG2=EF2，
∴S△FGE=,

设EC=x，则BF=x，BE=2a-x，在Rt△BEF中，由勾股定理，得
EF2=x2+（2a-x）2，
∴S△FGE=,

∵S△FBE=,

①当S△FGE=S△FBE时，则

,

解得：x=a；
∴EC=a．
②当S△FGE=3S△FBE时，则,

∴2x2-4ax+a2=0，
解得：x=或x=,

∴EC=或EC=.

考查了旋转对称图形的性质，正方形的性质，三角形的面积及勾股定理的运用．