Question

在平面直角坐标系xOy中，中心为点C正方形的各边分别与两坐标轴平行，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的仿射点Q的定义如下：设射线CP交正方形的边于点M，若射线CP上存在一点Q，满足CP+CQ＝2CM，则称Q为点P关于正方形的仿射点如图为点P关于正方形的仿射点Q的示意图．

特别地，当点P与中心C重合时，规定CP＝0．

（1）当正方形的中心为原点O，边长为2时．

①分别判断点F（2，0），G（，），H（3，3）关于该正方形的仿射点是否存在？若存在，直接写出其仿射点的坐标；

②若点P在直线y＝﹣x+3上，且点P关于该正方形的仿射点Q存在，求点P的横坐标的取值范围；

（2）若正方形的中心C在x轴上，边长为2，直线y＝与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于该正方形的仿射点Q在正方形的内部，直接写出正方形的中心C的横坐标的取值范围．

Answer

（1）①点 F 的仿射点坐标为（0，0），点 G 的仿射点坐标为（﹣，），②点 P 在直线 y=﹣x+3 上，且点 P 关于该正方形的仿射点 Q 存在，点 P 的横坐标的取值范围1≤x≤2；（2）满足条件的正方形的中心 C 的横坐标的取值范围为 4﹣2≤x≤5﹣ 或 7﹣≤x≤8．

【解析】

（1）①根据点P关于正方形的仿射点的定义可知：当点在正方形ABCD（边长为4、中心为原点O）的内部时（包括正方形的边上）有仿射点，观察图象可知，点F，点G有仿射点，根据定义即可解决问题；
②如图2中，直线y=-x+3交CD于K（1，2），交BC于H（2，1），观察图象即可判断；
（2）如图3中，由题意A（0，2），B（6，0）．求出四个特殊位置的点C的坐标即可判断；

（1）①如图 1 中，

根据点P 关于正方形的仿射点的定义可知：当点在正方形 ABCD（边长为 4 中心为原点 O）的内部时（包括正方形的边上），有仿射点，

观察图象可知，点 F，点 G 有仿射点，

点 F 的仿射点坐标为（0，0），点 G 的仿射点坐标为（﹣ ， ）．

②如图 2 中，

如图直线 y=﹣x+3 交 CD 于 K（1，2），交 BC 于 H（2，1），

∴点 P 在直线 y=﹣x+3 上，且点 P 关于该正方形的仿射点 Q 存在，点 P 的横坐标的取值范围为 1≤x≤2；

（2）如图 3 中，由题意 A（0，2），B（6，0）．

由（1）可知当边长为 4 的正方形的顶点 D 在线段 AB 上时，DE=2，

∵DE∥OA，

∴，

∴，

∴EB=2，OE=6﹣2 ，

∴OC1=6﹣2﹣2=4﹣2，

∴C1（4﹣2）

当边长为 2 的顶点在线段 AB 上时，C2（5﹣，0），C3（7﹣），当边长为 4 的正方形的边经过点 B 时，可得 C4（8，0），

观察图象可知：满足条件的正方形的中心 C 的横坐标的取值范围为 4﹣2≤x≤5﹣ 或 7﹣≤x≤8．