Question

已知关于x的方程x²+2（a﹣1）x+a²﹣7a﹣4=0的两根为x₁，x₂，且满足（2x₁﹣3）（2x₂﹣3）=29，则a的值为      ．

Answer

6

【解析】

试题先根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2（a﹣1），x1•x2=a2﹣7a﹣4，再把它们代入已知条件后整理得到得a2﹣4a﹣12=0，解得a1=6，a2=﹣2，然后分别把a的值代入原方程，根据判别式的意义确定a的值．

【解析】
根据题意得x1+x2=﹣2（a﹣1），x1•x2=a2﹣7a﹣4，

∵（2x1﹣3）（2x2﹣3）=29，即2x1x2﹣3（x1+x2）﹣10=0，

∴2（a2﹣7a﹣4）+6（a﹣1）﹣10=0，

整理得a2﹣4a﹣12=0，解得a1=6，a2=﹣2，

当a=6时，原方程变形为x2+10x﹣10=0，△＞0，方程有两个不等的实数根；

当a=﹣2时，原方程变形为x2﹣6x+14=0，△＜0，方程没有实数根；

∴a的值为6．

故答案为6．