Question

如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，，B、C、E三点共线，BE平分∠AED，F为CD的中点，AF、AC的延长线分别交DE于H、G点。

求证：⑴;   ⑵

Answer

见解析

【解析】

⑴通过△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠AED=∠BAC=90°，证明∠AGD=∠GAD即可；

(2)延长AF至k点，使AF=FK,连接DK,则AF=AK，证明△ACF≌△KDF得DK=AC=AB，∠CAF=∠K，再证明△AEB≌△KDA即可.

⑴∵BE平分∠AED，△ADE为等腰直角三角形

∴∠AEC=∠BED=22.5°

∵∠AED=∠BAC=90°

∴∠GAE=∠BAD

∵△ABC为等腰直角三角形

∴∠BCA=45°

∴∠ECA=135°

∵∠AEC =22.5°

∴∠GAE=22.5°=∠BAD

∴∠AGD=∠AEG+∠EAG=67.5°

∠GAD=∠EAD-∠EAG=67.5°.

∴∠AGD=∠GAD.

∴AD=AG.

(2)延长AF至k点，使AF=FK,连接DK,则AF=AK;

∵F为CD的中点

∴CF=FD

在△ACF和△KDF中，CF=FD，∠CFA=∠DFK,AF=FK

∴△ACF≌△KDF

∴DK=AC=AB，∠CAF=∠K

∴∠KDA+∠CAD=180°

∵∠EAB+∠CAD=180°

∴∠KDA=∠EAB

在△AEB和△KDA中, ∠KDA=∠EAB, DK=AC,AE=AD

∴△AEB≌△KDA

∴BE=AK

∴