Question

小明在研究整数时发现如：，像这些正整数都能表示成两个连续的奇数的平方差的形式，他称这些正整数为“阳光数”。

⑴请写出最大的两位“阳光数”；

⑵求证：任意一个“阳光数”能被8整除；

⑶一个小于500的三位“阳光数”，其百位数和个位上的数字相同，十位数字比个位数字大，求出正整数的所有可能的取值。

Answer

（1）96；（2）见解析；（3）正整数或2或5

【解析】

（1）96=252-232，所以最大的两位“阳光数”是96；

⑵设一个“阳光数”能表示成：（为正整数），再化简即可；

⑶设该“阳光数”百位和个位上的数字为，则这个“阳光数”表示为：，再根据⑵中条件求解.

⑴96

⑵设一个“阳光数”能表示成：（为正整数）

∴

∴任意一个“阳光数”能被8整除；

⑶设该“阳光数”百位和个位上的数字为，则这个“阳光数”表示为：

∴

由⑵可知，能被8整除，故必为偶数，

当时，能被8整除，故或5；

当时，能被8整除，故；

∴正整数或2或5；