Question

⑴如图1，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，过点M、N分别作MP⊥OA、NP⊥OB，MP、NP交于P，E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF＝∠AOB，延长PM到S，使MS＝NF，连接OS，则∠EOF与∠EOS的数量关系为      ，线段NF、EM、EF的数量关系为                         

⑵如图2，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，， E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF＝∠AOB，⑴中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。

⑶如图3，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM＝ON，， E、F分别为线段PM、NP延长线上的点，且∠EOF＝∠AOB，⑴中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。

Answer

（1）相等，EF=FN+EM；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）结论：相等，EF=FN+EM．先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．

（2）结论：EF=FN+EM．如图2中，延长EM到S，使得SM=FN，连接SO，先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．

（3）结论：EF=FN-EM．如图3中，延长ME到S，使得MS=FN，连接SO，先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．

理由：如图1中，

在△OMS和△ONF中，OM=ON，∠OMS=∠ONF，MS=FN，

∴△OMS≌△ONF，

∴OS=OF，∠SOM=∠FON，

∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，

在△OES和△OEF中，OE=OE，∠SOE=∠EOF，OS=OF，

∴△OES≌△OEF，

∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．

故答案为相等，EF=FN+EM．

（2）如图2中，延长EM到S，使得SM=FN，连接SO．

∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，

∴∠OMS=∠ONF，

在△OMS和△ONF中，OM=ON，∠OMS=∠ONF，MS=FN，

∴△OMS≌△ONF，

∴OS=OF，∠SOM=∠FON，

∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，

在△OES和△OEF中，OE=OE，∠SOE=∠EOF，OS=OF，

∴△OES≌△OEF，

∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．

（3）结论：EF=FN-EM．

理由：如图3中，延长ME到S，使得MS=FN，连接SO．

∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，

∴∠OMS=∠ONF，

在△OMS和△ONF中，OM=ON,∠OMS=∠ONF,MS=FN∴△OMS≌△ONF，

∴OS=OF，∠SOM=∠FON，

∵∠EOF=∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，

在△OES和△OEF中，OE=OE,∠SOE=∠EOF,OS=OF，

∴△OES≌△OEF，

∴EF=SE=SM-EM=FN-EM．