Question

等腰Rt△AEF（其中FA＝FE，∠AFE＝90°，AE＝6）与正方形ABCD（其中AB＝2）有共同的顶点A，连接CE，点P是CE的中点，连接PB，PF．

（1）如图1，当点E恰好落在AB的延长线上时，请求出∠BPF的度数，并求出PB与PF的长．

（2）如图2，把等腰Rt△AEF绕点A旋转，当点E恰好在DC的延长线上时，

①请求出PC的长．

②判断PB与PF的数量关系与位置关系，并说明理由．

（3）把等腰Rt△AEF绕点A由如图1所示的位置逆时针旋转180°，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程____．（结果保留π）

Answer

（1）∠FPB＝90°；PF＝；BP＝；（2）①CP＝2﹣1；②PF⊥BP，PF＝BP；（3）3π

【解析】

（1）根据勾股定理可求CE=2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求BP=PF=，∠FPB=2∠FEA=90°；

（2）①由勾股定理可求DE的长，即可求CE的长，由P点是CE中点可求CP的长；

②过点E作GE∥BC，交BP的延长线于G，连接FG，BF，由题意可证△GEP≌△BCP，可得BP=GP，GE=BC，即可证△AFB≌△EFG，可得BF=FG，∠AFB=∠EFG，可得△BFG是等腰直角三角形，则PF⊥BP，PF=BP；

③以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，连接AC，BD交于点G．由题意可求点G（1，1），点C（2，2）设E（x，y），由AE=6，可得x2+y2=36，则可求点P（，），根据两点公式可求GP=3，即点P在以G为圆心，半径为3的圆上运动，即可求点P运动的路程．

【解析】
（1）∵FA＝FE，∠AFE＝90°

∴∠FEA＝45°

∵AB＝2，AE＝6

∴BE＝4

在Rt△BCE中，CE＝＝2

∵∠CFE＝90°，点P是CE中点，

∴PE＝PF＝CP＝，

∴∠PEF＝∠PFE

即∠FPC＝2∠FEP

∵∠CBE＝90°，点P是CE中点

∴BP＝PE＝，

∴∠PEB＝∠PBE

∴∠CPB＝2∠PEB

∵∠FPB＝∠FPC+∠CPB＝2∠FEP+2∠PEB＝2∠FEB

∴∠FPB＝90°

（2）①∵AE＝6，AD＝2

∴由勾股定理可得：DE＝＝4,

∴CE＝DE﹣DC＝4﹣2

∵点P是CE中点

∴CP＝＝2﹣1

②过点E作GE∥BC，交BP的延长线于G，连接FG，BF，

∵GE∥BC

∴∠BCE＝∠GEP＝90°且CP＝PE，∠BPC＝∠GPE

∴△GEP≌△BCP（AAS）

∴BP＝GP，GE＝BC

∵CD∥AB

∴∠FAB＝∠FME

∵∠FME+∠FED＝90°，∠FED+∠FEG＝90°

∴∠FME＝∠FEG

∴∠FAB＝∠FEG，且GE＝CB＝AB，AF＝EF

∴△AFB≌△EFG（SAS）

∴BF＝FG，∠AFB＝∠EFG

∵∠AFB+∠BFE＝90°

∴∠BFE+∠EFG＝90°

∴∠BFG＝90°且BF＝FG

∴△BFG是等腰直角三角形且BP＝PG

∴PF⊥BP，PF＝BP

（3）以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，连接AC，BD交于点G．

∵四边形ABCD是正方形，AB＝2

∴AB＝2＝BC＝CD＝AD，AG＝CG

∴点C（2，2）且点A（0，0）

∴点G（1，1）

设E（x，y）

∵AE＝6

∴x2+y2＝36

∵点P是CE的中点，且点C（2，2），点E（x，y）

∴点P（，），

∴GP＝＝＝3

∴点P运动的路程＝＝3π

故答案为：3π