Question

某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：

销售单价x（元/件）	…	55	60	70	75	…
一周的销售量y（件）	…	450	400	300	250	…

（1）直接写出y与x的函数关系式：　  　.　

（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？

（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？

Answer

【解析】
（1）y与x的函数关系式为：y=﹣10x+1000。

（2）由题意得，S=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣10x+1000）=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2+9000。

∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70。

∴当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大。

（3）当购进该商品的贷款为10000元时，y=10000÷40=250（件），此时x=75。

由（2）得当x≥70时，S随x的增大而减小，

∴当x=70时，销售利润最大，此时S=9000。

∴该商家最大捐款数额是9000元。

【解析】

试题（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式：

设y=kx+b，由题意得，，解得：。

∴y与x的函数关系式为：y=﹣10x+1000。

（2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围。

（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可。