Question

关于x的二次函数y=2sinx²-(4sin+)x-sin+，其中为锐角，则：①当a为30°时，函数有最小值﹣；②函数图象与坐标轴可能有三个交点，并且当a为45°时，连接这三个交点所围成的三角形面积小于1；③当a＜60°时，函数在x＞1时，y随x的增大而增大；④无论锐角a怎么变化，函数图象必过定点．其中正确的结论有（   ）

A. ①②    B. ①②③    C. ①②④    D. ②③④

Answer

C

【解析】

①由于2sin＞0，所以函数一定有最小值，将a的值代入抛物线的解析式中，将解析式写成顶点式可得函数的最小值．

②令y=0，在所得方程中若根的判别式大于0，那么抛物线的图象与坐标轴的交点可能有三个：与x轴有两个交点，与y轴有一个交点；当抛物线经过原点时，抛物线的图象与坐标轴只有两个交点．首先将a的值代入解析式，先设抛物线与x轴的两个交点横坐标为x1、x2，那么这两点间的距离可表示为|x1-x2|=，以这条线段为底，抛物线与y轴交点纵坐标的绝对值为高即可得到三交点围成的三角形的面积值，然后判断是否小于1即可．

③由①知，抛物线的开口向上，所以一定有最小值；首先求出抛物线的对称轴方程，若x=1在抛物线对称轴右侧，那么y随x的增大而增大；若x=1在抛物线对称轴的左侧，那么随x的增大，y值先减小后增大．

④图象若过定点，那么函数值就不能受到变量sina的影响，所以先将所有含sina的项拿出来，然后令sina的系数为0，可据此求出x的值，将x的值代入抛物线的解析式中，即可得到这个定点的坐标．

【解析】
①当a=30°时，sina=，二次函数解析式可写作：y=x2-x=（x-）2-；

所以当a为30°时，函数的最小值为-；故①正确．

②令y=0，则有：2sinax2-（4sina+）x-sina+=0，

△=（4sina+）2-4·2sina·（-sina+）=24sin2a+＞0，

所以抛物线与x轴一定有两个交点，再加上抛物线与y轴的交点，即与坐标轴可能有三个交点（当图象过原点时，只有两个交点）；

设抛物线与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）；

当a=45°时，sina=，得：y=x2-（2+）x-，则：

三角形的面积 S===≈0.3＜1

故②正确．

③∵2sina＞0，且对称轴x==1+＞1，

∴x=1在抛物线对称轴的左侧，因此 x＞1时，y随x的增大先减小后增大；

故③错误．

④y=2sinax2-（4sina+12）x-sina+=sina（2x2-4x-1）-x+；

当2x2-4x-1=0，即 x=1±时，抛物线经过定点，且坐标为：（1+，-）、（1-，）；

故④正确．

综上，正确的选项是①②④

故本题答案选C．