Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若∠BAC＝60°，DE＝，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）详见解析；（2）9﹣2π．

【解析】

（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；
（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，OB=BD=2，根据勾股定理求出PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．

证明：（1）连结OD，

∵AD平分∠BAC交⊙O于D，

∴∠BAD=∠CAD，

∴ ，

∴OD⊥BC，

∵BC∥DF，

∴OD⊥DF，

∴DF为⊙O的切线；

（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，

∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD=30°，

∴∠BOD=2∠BAD=60°，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠ODB=60°，OB=BD=2 ，

∴∠BDF=30°，

∵BC∥DF，

∴∠DBP=30°，

在Rt△DBP中，PD=BD= ，PB=PD=3，

在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，

∴PE= =2，

∵OP⊥BC，

∴BP=CP=3，

∴CE=3﹣2=1，

∵∠DBE=∠CAE，∠BED=∠AEC，

∴△BDE∽△ACE，

∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1： ，

∴AE=

∵BE∥DF，

∴△ABE∽△AFD，

∴ ，即 ，

解得DF=12，

在Rt△BDH中，BH=BD=，

∴阴影部分的面积=△BDF的面积﹣弓形BD的面积=△BDF的面积﹣（扇形BOD的面积﹣△BOD的面积）= =9﹣2π．