Question

如图1，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：

（1）如图1，若BC＝3，AB＝5，则ctanB＝_____；

（2）ctan60°＝_____；

（3）如图2，已知：△ABC中，∠B是锐角，ctan C＝2，AB＝10，BC＝20，试求∠B的余弦cosB的值．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）先利用勾股定理计算出AC=4，然后根据余切的定义求解；

（2）根据余切的定义得到ctan60°=，然后把tan60°=代入计算即可；

（3）作AH⊥BC于H，如图2，先在Rt△ACH中利用余切的定义得到ctanC==2，则可设AH=x，CH=2x，BH=BC﹣CH=20﹣2x，接着再在Rt△ABH中利用勾股定理得到（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），所以BH=8，然后根据余弦的定义求解．

【解析】
（1）∵BC=3，AB=5，

∴AC==4，

∴ctanB==；

（2）ctan60°===；

（3）作AH⊥BC于H，如图2，

在Rt△ACH中，ctanC==2，

设AH=x，则CH=2x，

∴BH=BC﹣CH=20﹣2x，

在Rt△ABH中，∵BH2+AH2=AB2，

∴（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），

∴BH=20﹣2×6=8，

∴cosB===．