Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝4，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿射线CD以每秒1个单位长度的速度运动．设运动的时间为t秒．

（1）BC=____．

（2）MC＝_____．（用t表示）

（3）求t为何值时，四边形AMCD为平行四边形．

（4）直接写出t为何值时，△AND为直角三角形．

Answer

（1）10；（2）10﹣2t；（3）即当t=时，四边形ADCM为平行四边形；（4）t= 或t=10时，△AND为直角三角形；

【解析】

（1）作AE⊥BC、DF⊥BC，可得四边形AEFD为矩形，据此知AD=EF=3，根据知AE=BE=DF=4，再由可得答案．
（2）由BM=2t、BC=10知MC=10-2t；
（3）由AD=MC即3=10-2t时，四边形ADCM为平行四边形，据此可得；
（4）①当∠AND=90°时，根据 即

求得AN的长可得；②当∠NAD=90°时，由AD∥BC知△NAD∽△NEC，据此得，求得DN=5，据此可得答案．

（1）如图1，作AE⊥BC于点E、DF⊥BC于点F，

则∠AEF=∠DFC=90°，

∴AE∥DF，

∵AD∥BC，

∴四边形AEFD为矩形，

则AD=EF=3，

∵

∴AE=BE=DF=4，

则FC=

∴BC=BE+EF+FC=4+3+3=10，

故答案为：10；

（2）∵BM=2t，BC=10，

∴MC=10﹣2t，

故答案为：10﹣2t；

（3）∵AD∥BC，

∴当AD=MC，即3=10﹣2t时，四边形ADCM为平行四边形，

解得，

即当时，四边形ADCM为平行四边形；

（4）如图2，当∠AND=90°时，

∵即

∴AN=，

由CN=CD+DN可得

如图3，当∠NAD=90°时，

∵∠AEF=90°，AD∥BC，

∴∠EAD=90°，

∴∠NAD+∠EAD=180°，

∴点N、A、E三点共线，

∵AD∥BC，

∴△NAD∽△NEC，

∴，即

解得：DN=5，

∴NC=10，

∴t=10．

综上或t=10时，△AND为直角三角形．