如图,直线与抛物线分别交于点A、点B,且点A在y轴上,抛物线的顶点C的坐标为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上一动点,射线轴并与直线BC和抛物线分别交于点M、N,过点P作轴于点E,当PE与PM的乘积最大时,在y轴上找一点Q,使的值最大,求的最大值和此时Q的坐标;
(3)在抛物线上找一点D,使△ABD为直角三角形,求D点的坐标.
材料一:把一个自然数的个位数字截去,再用余下的数减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大不易看出是否7的倍数,可重复上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断392是否7的倍数的过程如下:,,所以,392是7的倍数;又例如判断8638是否7的倍数的过程如下:,,,所以,8638是7的倍数.
材料二:若一个四位自然数n满足千位与个位相同,百位与十位相同,我们称这个数为“对称数”.将“对称数”n的前两位与后两位交换位置得到一个新的“对称数”,记,例如.
(1)请用材料一的方法判断6909与367能不能被7整除;
(2)若m、p是“对称数”,其中,(,且a,b,c均为整数),若m能被7整除,且,求p.
在等边中,点D在线段AC上,E为BC延长线上一点,且CD = CE,连接BD,连接AE.
(1)如图1,若,求线段AD的长;
(2)如图2,若F是线段BD的中点,连接AF,若,求证:.
“2018双十一购物狂欢节”,阿里巴巴天猫在开场的2分5秒交易额超100亿元.刘老师为此提前花88元购买了一张“88VIP”卡,使用此卡可享受部分特定商品九五折.
(1)为了使买的“88VIP”卡不亏,刘老师应至少选购多少元特定商品?
(2)刘老师在“双十一”到来之前,分别在两家店里选了一套标价为1100元的书籍和一件标价为990元的羽绒服.据了解,双十一当天书籍可以使用“88VIP”卡,并降价;同时,刘老师发现聪明的老板先将羽绒服提价,双十一当天再降价.最后刘老师双十一购买两种商品所花费的总金额恰好是 (1) 中的最小值,求m的值.
如图,一次函数与反比例函数的图象交于点和点B,与x轴交于点C,与y轴交于点D.过点A作AE⊥x轴,垂足为点E;过点B作BF⊥y轴,垂足为点F,且.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求四边形AEFB的面积.
计算:
(1) ;
(2) .