Question

同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：

（1）求|5﹣（﹣3）|＝　   　．

（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7这样的整数是　   　．

（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值；如果没有，说明理由．

Answer

（1）8；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）有最小值，最小值是3

【解析】

（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；

（2）利用分类讨论的数学思想可以解答本题；

（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．

（1）|5﹣（﹣3）|＝|5+3|＝8．

故答案为：8；

（2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；

当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；

当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在．

故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；

（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：

当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；

当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；

当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3．

故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．