Question

如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点。当△APB为直角三角形时，AP＝       ．

Answer

3或3或3．

【解析】

试题分以一下情况讨论：

（1）在Rt△A P1B中，∵∠1＝120°，O P1=OB，∴∠O B P1=∠O P1B=30°，∴AP1=AB=×6=3；

（2）在Rt△A P2B中，∵∠1＝120°，O P2=OB，∴∠P2B O =∠O P2B=60°，∴AP2=AB=cos∠O B P2×6=×6=3；

（3）P3B为以B为切点的⊙O的切线，∵∠1＝120°，O P2=OB，∴∠P2B O =∠O P2B=60°，∴∠P3O B=60°，在Rt△O P3B中，∴BP3=tan∠P3O B×3 =×3=3;在Rt△A P3B中，AP3===3；

（4）P4B为以A为切点的⊙O的切线，∵∠1＝120°，O P1=OA，∴∠P1A O =∠O P1A=60°，∴∠P4O A=60°，在Rt△O P4A中，∴AP4=tan∠P4O A×3 =×3=3．

综上，当△APB为直角三角形时，AP＝3，或3，或3．