Question

如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y＝的图象上． 将线段 AB沿直线y=kx+b进行对折得到对应线段A′B′，且点A′ 始终在直线OA上，当线段A′B′ 与x轴有交点时，(1),m=____;(2),b的取值范围是____．

Answer

m=3 ≤b≤．

【解析】

（1）由题可得m（m+1）=（m+3）（m-1），解这个方程就可求出m的值;

(2) 由于点A关于直线y=kx+b的对称点点A1始终在直线OA上，因此直线y=kx+b必与直线OA垂直，只需考虑两个临界位置（A1在x轴上、B1在x轴上）对应的b的值，就可以求出b的取值范围．

（1）∵点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y=的图象上．

∴m（m+1）=（m+3）（m-1）．

解得：m=3．

(2) ①当点B1落到x轴上时，如图1，

设直线OA的解析式为y=ax，

∵点A的坐标为（3，4），

∴3a=4，即a=．

∴直线OA的解析式为y=x．

∵点A1始终在直线OA上，

∴直线y=kx+b与直线OA垂直．

∴k=-1．

∴k=-．

由于BB1∥OA，因此直线BB1可设为y=x+c．

∵点B的坐标为（6，2），

∴×6+c=2，即c=-6．

∴直线BB1解析式为y=x-6．

当y=0时，x-6=0．则有x=．

∴点B1的坐标为（，0）．

∵点C是BB1的中点，

∴点C的坐标为（，）即（，1）．

∵点C在直线y=-x+b上，

∴-×+b=1．

解得：b=．

②当点A1落到x轴上时，如图2，

此时，点A1与点O重合．

∵点D是AA1的中点，A（3，4），A1（0，0），

∴D（，2）．

∵点D在直线y=-x+b上，

∴-×+b=2．

解得：b=．

综上所述：当线段A1B1与x轴有交点时，则b的取值范围为≤b≤．

故答案为：≤b≤．