Question

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．

求函数y=﹣x²+3x﹣2的“旋转函数”．

小明是这样思考的：由函数y=﹣x²+3x﹣2可知，a₁=﹣1，b₁=3，c₁=﹣2，根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂，b₂，c₂，就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y=﹣x²+3x﹣2的“旋转函数”；

（2）若函数y=﹣x²+mx﹣2与y=x²﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）²⁰¹⁵的值；

（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分布是A₁，B₁，C₁，试证明经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”

Answer

（1）y=x2+3x+2；（2）-1；（3）见解析

【解析】

试题（1）根据“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2，从而得到原函数的“旋转函数”；

（2）根据“旋转函数”的定义得到m=﹣2n，﹣2+n=0，再解方程组求出m和n的值，然后根据乘方的意义计算；

（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），则可利用交点式求出经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，再把y=﹣（x+1）（x﹣4）化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断．

试题解析：（1）【解析】
∵a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，

∴﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，

∴a2=11，b2=3，c2=2，

∴函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y=x2+3x+2；

（2）【解析】
根据题意得m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，

∴（m+n）2015=（﹣3+2）2015=﹣1；

（3）证明：当x=0时，y=﹣（x+1）（x﹣4）=2，则C（0，2），

当y=0时，﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），

∵点A、B、C关于原点的对称点分布是A1，B1，C1，

∴A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），

设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2（x﹣1）（x+4），把C1（0，﹣2）代入得a2•（﹣1）•4=﹣2，解得a2=，

∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，

而y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，

∴a1+a2=﹣+=0，b1=b2=，c1+c2=2﹣2=0，

∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．