Question

已知关于x的一元二次方程x²﹣8x﹣k²＝0（k为常数）．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设x₁，x₂为方程的两个实数根，且x₁+2x₂＝7，试求出方程的两个实数根和k的值．

Answer

（1）详见解析；（2）k＝±3，方程的两个根分别为9和－1．

【解析】

（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△＝b2﹣4ac的值大于0即可；

（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是8，结合x1+2x2＝7即可求得方程的两个实根，进而可求k的值．

（1）∵b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×（﹣k2）＝64+4k2＞0，∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x1+x2＝8．

又∵x1+2x2＝7，解得：，将x2＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣8×（﹣1）﹣k2＝0，解得：k＝±3．