Question

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，回答下列问题：

（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　   　；

（2）数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，如果AB＝2，那么x＝　   　；

（3）互不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果|c﹣a|+|b﹣c|＝|a﹣b|，那么，在点A，B，C中居中的点是　   　．

（4）当|x+2|+|x﹣1|取最小值时，相应的x的取值范围是　   　．

若|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，则b的值为　   　．

式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣617|的最小值是　   　．

Answer

（1）4；（2）1或﹣3；（3）C；（4）﹣2≤x≤1，7或﹣1，95172．

【解析】

（1）根据数轴上两点间的距离的表示方法分别解答即可；（2）根据两点间的距离的表示方法列式，再根据绝对值的性质求解即可；（3）根据|c－a|是A、C间的距离，|b－c|是B、C间的距离，|a－b|是A、B间的距离．即可求解；（4）①当|x＋2|＋|x－1|取最小值时，有，求解即可；②根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，分为b在a的左侧和b在a的右侧两种情况求解；③在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，617各点的距离之和最小，代入x的值求和即可.

【解析】
（1）|1﹣（﹣3）|＝4，

故答案为：4；

（2）AB＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|＝2，解得：x＝1，x＝﹣3；

故答案为：1或﹣3；

（3）|c﹣a|是A，C间的距离，|b﹣c|是B，C间的距离，|a﹣b|是A，B间的距离．

∵|a﹣c|+|b﹣c|＝|a﹣b|，

∴点A，B，C中居中的点是点C，

故答案为：C；

（4）①当代数式|x+2|+|x﹣1|取最小值时，相应的x的取值范围﹣2≤x≤1；

②由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，

当点b在a的右侧时，

得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，

|x﹣3|+|x﹣b|最小＝x﹣3+b﹣x＝4，

解得：b＝7；

当点b在a的左侧时，

得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，

|x﹣3|+|x﹣b|最小＝3﹣x+x﹣b＝4，

解得：b＝﹣1；

③根据绝对值的几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣617|的最小值

就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1,2，⋯，617各点的距离之和最小，当x＝309时，原式的值最小，

最小值是308+307+…+1+1+2+…+308＝95172．故答案为：﹣2≤x≤1，7或﹣1，95172．