Question

综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OC在y轴正半轴上，且顶点O与坐标原点重合，点A的坐标为（2，4），直线y=-x+b过点A，与x轴交于点B．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度沿BO的方向向O运动，过点M作MQ⊥x轴，交线段BA或线段AO于点Q，当点P到达A点时，点P和点M都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．△APQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）点B的坐标为（6，0）；直线AB的解析式为：y=-x+6；（2）S=；（3）t=2或．

【解析】

（1）先将点A（2，4）代入y=-x+b，运用待定系数法求出直线AB的解析式，再令y=0，求出x的值，即可得到与x轴交点B的坐标；

（2）①先求出直线AB与y轴交点D的坐标，由B、D两点的坐标，可知△OBD是等腰直角三角形，再过点A作AN⊥OB于N，可得AN=OC=4，BN=AN=4，则当点P到达点C时，点M到达点N，所以分两种情况讨论：（i）当0≤t≤4，即点P在OC上，点Q在BA上时，用含t的代数式分别表示PQ、CP，再根据S=PQ•CP即可求解；（ii）当4＜t≤6，即点P在AC上，点Q在AO上时，延长MQ交AC于点E，用含t的代数式分别表示AP、QE，再根据S=AP•QE即可求解；

②分两种情况讨论：（i）当0≤t≤4，即点P在OC上，点Q在BA上时，先由三角形面积公式求出S△MPQ=-t2+3t，再根据S△MPQ=S=t2-5t+12列出方程，解方程即可；（ii）当4＜t≤6，即点P在AC上，点Q在AO上时，先由三角形面积公式求出S△MPQ=（6-t）|10-2t|，再根据S△MPQ=S=（6-t）（t-4），列出方程，解方程即可．

（1）将点A（2，4）代入y=-x+b，

得4=-2+b，解得b=6，

∴直线AB的解析式为：y=-x+6，

当y=0时，x=6，

∴点B的坐标为（6，0）．

（2）设直线y=-x+6与y轴交于点D，则D（0，6），∵B（6，0），

∴OB=OD=6，∠OBD=∠ODB=45°．

过点A（2，4）作AN⊥OB于N，则AN=OC=4，ON=AC=2，BN=AN=4，

∴当点P到达点C时，点M到达点N．

分两种情况讨论：

（i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图1．

∵OP=t，BM=QM=t，

∴PQ∥OB，PQ=OM=OB-BM=6-t，CP=OC-OP=4-t，

∴S=PQ•CP=（6-t）（4-t）=t2-5t+12；

（ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图2，延长MQ交AC于点E．

∵OC+CP=t，BM=t，

∴AP=6-t，OM=OB-BM=6-t．

∵tan∠AON=，

∴，

∴QM=12-2t，

∴QE=EM-QM=4-（12-2t）=2t-8，

∴S=AP•QE=（6-t）（2t-8）=-t2+10t-24．

综上可知，S=；

②存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，理由如下：

分两种情况讨论：

（i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图3．

∵S△MPQ=PQ•QM=（6-t）t=-t2+3t，S=t2-5t+12，

∴-t2+3t=t2-5t+12，

整理，得t2-8t+12=0，

解得t1=2，t2=6（不合题意舍去）；

（ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图4．

∵QM=12-2t，PE=|CE-CP|=|（6-t）-（t-4）|=|10-2t|，

∴S△MPQ=QM•PE=（12-2t）|10-2t|=（6-t）|10-2t|，

又∵S=AP•QE=（6-t）（2t-8）=（6-t）（t-4），

∴（6-t）|10-2t|=（6-t）（t-4），

∵t=6时，M与Q重合，不合题意舍去，

∴10-2t=±（t-4），

当10-2t=t-4时，t=；

当10-2t=-（t-4）时，t=6舍去．

综上可知，存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，此时t的值为2或．