Question

如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A．

(1)求A点坐标；

(2)求△OAC的面积；

(3)如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；

(4)在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A点坐标是(2,3)；（2）=；（3）P点坐标是(0, )；（4）点Q是坐标是(,)或(,-).

【解析】

解析

联立方程,解方程即可求得;

C点位直线y=﹣2x+7与x轴交点，可得C点坐标为（，0）,由（1）得A点坐标，可得的值；

(3)设P点坐标是(0,y),根据勾股定理列出方程,解方程即可求得;

(4)分两种情况:①当Q点在线段AB上:作QD⊥y轴于点D,则QD=x,根据

=-列出关于x的方程解方程求得即可;②当Q点在AC的延长线上时,作QD⊥x轴于点D,则QD=-y,根据=- 列出关于y的方程解方程求得即可.

解(1)解方程组:得：，

A点坐标是(2,3);

(2) C点位直线y=﹣2x+7与x轴交点，可得C点坐标为（，0）

==

(3)设P点坐标是(0,y ),

△OAP是以OA为底边的等腰三角形,

OP=PA,

,

解得y=，

P点坐标是(0, ),

故答案为(0, );

(4)存在;

由直线y=-2x+7可知B(0,7),C(,0),

==＜6,

==7＞6,

Q点有两个位置:Q在线段AB上和AC的延长线上,设点Q的坐标是(x,y),

当Q点在线段AB上:作QD⊥y轴于点D,如图1,

则QD=x, =-=7-6=1,

OBQD=1,即: 7x=1,

x=，

把x=代入y=-2x+7,得y=，

Q的坐标是(,),

当Q点在AC的延长线上时,作QD⊥x轴于点D,如图2

则QD=-y,

=- =6-=,

OCQD=,即:，

y=-,

把y=-代入y=-2x+7,解得x=

Q的坐标是(,-),

综上所述:点Q是坐标是(,)或(,-).