Question

如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝_____．

Answer

【解析】

如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题.

如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴∠BAP=∠CAP，

∵PA=PA，

∴△BAP≌△CAP（SAS），

∴PC=PB，

∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，

∴△GAP是等边三角形，

∴PA=PG，

∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，

∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，

∵AP+BP+CP的最小值为2，

∴CM=2，

∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，

∴∠MAC=90°，

∴AM=AC=2，

作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-，

∴BC=．

故答案为．