Question

如图，点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，AB＝4，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△AD′F

（1）画出旋转后的图形，求证：点C、B、F三点共线；

（2）AG平分∠EAF交BC于点G．

①如图2，连接EF．若BG：CE＝5：6，求△AEF的面积；

②如图3，若BM、DN分别为正方形的两个外角角平分线，交AG、AE的延长线于点M、N．当MM∥DC时，直接写出DN的长．

Answer

（1）详见解析；（2）① ②.

【解析】

（1）旋转后的图形如图1中所示，利用旋转不变性即可解决问题；

（2）①如图2中，连接EG．首先证明EG=BG+DE，设BG=5k，CE=6k，则DE=4-6k，CG=4-5k，EG=4-k，在Rt△EGC中，根据EG2=EC2+CG2即可解决问题；

②如图3中，连接EG，延长MN交AD的延长线于点P，作MQ⊥AB交AB的延长线于点Q．由题意可知：△PDN，△BMQ都是等腰直角三角形，设DP=PN=x，BG=a，DE=b．想办法构建方程组即可解决问题.

（1）证明：旋转后的图形如图1中所示，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，

∵∴点D′与点B重合，

∵∠AD′F＝90°，

∴∠AD′F+′AD′C＝180°，

∴C，B，F共线．

（2）①【解析】
如图2中，连接EG．

∵∠BAF＝∠DAE，

∴∠EAF＝∠DAB＝90°，

∵AG平分∠EAF，

∴∠EAG＝×90°＝45°，

∴∠FAG＝∠FAB+∠BAG＝∠BAG+∠DAE＝45°，

∴∠FAG＝∠EAG，

∵AG＝AG，AF＝AE，

∴△GAE≌△GAF（SAS），

∴FG＝EG，

∴EG＝BF+BG＝DE+BG，

∵BG：CE＝5：6，

∴可以假设BG＝5k，CE＝6k，则DE＝4﹣6k，CG＝4﹣5k，EG＝4﹣k，

在Rt△EGC中，∵EG2＝EC2+CG2，

∴（4﹣k）2＝（6k）2+（4﹣5k）2，

∴k＝，

∴DE＝，

∴AE=AF=，

∴S△AEF=•AE•AF=．

②【解析】
如图3中，连接EG，延长MN交AD的延长线于点P，作MQ⊥AB交AB的延长线于点Q．

由题意可知：△PDN，△BMQ都是等腰直角三角形，设DP＝PN＝x，BG＝a，DE＝b．

∵四边形AQMP是矩形，

∴MQ＝BQ＝AP＝4+x，

∵DE∥PN，

∴，即①，

∵BG∥MQ，

∴，即②

在Rt△BCG中，∵EG2=EC2+CG2，

∴（a+b）2=（4-a）2+（4-b）2    ③，

由①②③可得x=2或-2（舍弃）

∴DN=x=2．