Question

如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；

（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣x+2．（2）M（﹣，）．（3）平移后的解析式为y＝﹣x﹣1+或y＝﹣x﹣1﹣．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图1中，作EA⊥AB交BM的延长线于E，作EF⊥x轴于F．求出点E坐标，再求出直线BE的解析式，利用方程组即可解决问题；

（3）如图2中，当直线AD向下平移时，设E（x1，y1），F（x2，y2），作EH⊥x轴于H，FG⊥x轴于G．利用相似三角形的性质以及根与系数关系构建方程组即可解决问题；

（1）∵直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，

∴A（﹣2，0），B（0，2），

∵抛物线的对称轴x＝﹣，A，C关于对称轴对称，

∴C（1，0），

设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把（0，2）代入得到a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．

（2）如图1中，作EA⊥AB交BM的延长线于E，作EF⊥x轴于F．

∵∠ABE＝∠OBC，∠BAE＝∠BOC＝90°，

∴△BAE∽△BOC，

∴，

∴，

∴AE＝，

∵∠EAF+∠BAO＝90°，∠BAO＝45°，

∴∠EAF＝45°，

∴EF＝AF＝1，

∴E（3，1），

∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，

由，解得或，

∴M（-，）．

（3）如图2中，当直线AD向下平移时，设E（x1，y1），F（x2，y2），作EH⊥x轴于H，FG⊥x轴于G．

∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF，

由△EHO∽△OGF得到：

，

∴，

∴x1x2+y1y2=0，

由，消去y得到：x2+b-2=0，

∴x1x2=b-2，x1+x2=0，y1y2=（-x1+b）（-x2+b）=x1x2+b2，

∴2（b-2）+b2=0，

解得b=-1-或-1+（舍弃），

当直线AD向上平移时，同法可得b=-1+，

综上所述，平移后的解析式为y=-x-1+或y=-x-1-．