Question

如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点．

（1）求证：MD和NE互相平分；

（2）若BD⊥AC，EM=2，OD+CD=7，求△OCB的面积．

Answer

(1)见试题解析（2）8.5．

【解析】

试题（1）连接ED、MN，根据三角形中位线定理可得ED∥MN，ED=MN，进而得到四边形DEMN是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得MD和NE互相平分；

（2）利用（1）中所求得出OC=2DN=4，再利用勾股定理以及三角形面积公式求出S△OCB=OB×CD即可．

试题解析：（1）证明：连接ED、MN，

∵CE、BD是△ABC的中线，

∴E、D是AB、AC中点，

∴ED∥BC，ED=BC，

∵M、N分别为OB、OC的中点，

∴MN∥BC，MN=BC，

∴ED∥MN，ED=MN，

∴四边形DEMN是平行四边形，

∴MD和NE互相平分；

（2）【解析】
由（1）可得DN=EM=2，

∵BD⊥AC，

∴∠ODC=90°，

∵N是OC的中点，

∴OC=2DN=4（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

∵OD2+CD2=OC2=32，

（OD+CD）2=OD2+CD2+2OD×CD=72=49，

2OD×CD=49﹣32=17，

OD×CD=8.5，

∵OB=2OM=2OD，

∴S△OCB=OB×CD=OD×CD=8.5．