Question

如图，已知Rt△MBN的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，∠M＝30°，O为AB中点，NO平分∠BNM，EO平分∠AEN．

（1）求证：△MON为等腰三角形；

（2）求证：EN＝AE+BN．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

(1) 根据三角形内角和定理、角平分线的性质和等角对等边证得站论.

(2)延长EO交CB的延长线于点P,构造全等三角形; △AOE≌△BOP,结合全等三角形的判定与性质进行解答.

（1）证明：∵∠B＝90°，∠M＝30°，

∴∠BNM＝60°，

∵NO平分∠BNM，

∴∠ONM＝∠BNM＝30°，

∴∠ONM＝∠M，

∴OM＝ON，

∴MON为等腰三角形；

（2）证明：如图，延长EO交CB延长线于点P．

依题意得：∠BAE＝∠ABP＝90°．

∵O为AB中点，

∴OA＝OB，

在△AOE和△BOP中，

，

∴△AOE≌△BOP（ASA），

∴AE＝BP，OE＝OP．

又NO平分∠BNM，

∴ON⊥EP，

∴EN＝PN，

∴EN＝PN＝BP+BN＝AE+BN，

∴EN＝AE+BN．