Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD．

求证：（1）AD＝CF；

（2）点F为BD的中点．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

(1) 根据等腰直角三角形的性质, 判定ΔADE≌ΔCFE, 即可得出AD=CF;

(2) 先判定ΔACD≌ΔCBF, 得到CD=BF, ∠ACD=∠CBF, 再依据∠DCF=∠DFC, 可得DC=DF, 即可得到点F为BD的中点.

【解析】

（1）∵E为AC边的中点，

∴AE＝CE，

∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF平分∠ACB，

∴∠BAC＝45°＝∠ECF，

∵AD⊥AB，

∴∠DAC＝45°＝∠FCE，

又∵∠AED＝∠CEF，

∴△ADE≌△CFE，

∴AD＝CF；

（2）∵AC＝CB，∠DAC＝∠FCB，AD＝CF，

∴△ACD≌△CBF，

∴CD＝BF，∠ACD＝∠CBF，

∵∠DCF＝∠ACD+∠ECF＝∠ACD+45°，∠DFC＝∠CBF+∠BCF＝∠CBF+45°，

∴∠DCF＝∠DFC，

∴DC＝DF，

∴BF＝DF，即点F为BD的中点．