Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（a，0）（a＞0），点C是y轴上的一个动点，点C在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边△AOB（此时点P与点B重合）．

（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；

（2）若点P在第三象限，BP交x轴于点E，且∠ACO＝20°，求∠PAE的度数和E点的坐标；

（3）若∠APB＝30°，则点P的横坐标为　   　．

Answer

（1）见解析；（2）∠PAE＝∠OAC﹣∠CAP＝10°，E（﹣a，0）；（3）﹣a或2a．

【解析】

(1) 先判断出∠OAC=∠BAP, 进而得出结论;

(2) 利用直角三角形的性质得出∠OAC, 进而得出∠PAE, 再利用全等三角形的性质得出∠APB,利用三角形的外角得出∠AEB=30, 即可得出结论;

(3) 分点C在y轴负半轴和正半轴上,判断出点P在x轴上, 即可得出结论.

（1）证明：∵△AOB和△ACP都是等边三角形，

∴OA＝AB，AP＝AC，∠OAB＝∠CAP＝60°

∴∠OAC＝∠BAP，

在△AOC和△ABP中，，

∴△AOC≌△ABP（SAS），

（2）【解析】
∵∠ACO＝20°，

∴∠OAC＝90°﹣20°＝70°，

∵∠CAP＝60°，

∴∠PAE＝∠OAC﹣∠CAP＝10°；

由（1）知，△AOC≌△ABP，

∴∠ABP＝∠AOC＝90°，∠ACO＝∠APB＝20°，

∴∠AEB＝∠APB+∠PAE＝20°+10°＝30°，

∵A（a，0），

∴OA＝a，

∴AB＝OA＝a，

在Rt△ABE中，AE＝2AB＝2a，

∴OE＝AE﹣OA＝a，

∴E（﹣a，0）；

（3）

当点C在y轴负半轴上时，当∠APB＝30°时，

由（1）知，△AOC≌△ABP，

∴∠ABP＝∠AOC＝90°，

∵∠OAB＝60°，

∴∠AEB＝30°＝∠APB，

∴点P和点E重合，

即：点P在x轴上，

在Rt△ABE中，AB＝a，

∴AP＝2AB＝2a，

∴OP＝AP﹣OA＝a，

∴P（﹣a，0）；

当点C在y轴正半轴时，

如图（注：为了说明点P也在x轴上，作的图形，不标准）

∵∠AOB＝60°，

∴∠APB＝∠AOB，

∴点P在以点O为圆心，OA为半径的圆上，

∴OP＝OA，

在△AOC和△POC中，，

∴△AOC≌△POC，

∴∠ACO＝∠PCO，

∵∠ACP＝60°，

∴∠ACO＝∠PCO，

∴OC⊥AP，

∵OC⊥OA，∴点P在x轴上，

∴点P的横坐标为﹣a，

当点C在y轴半轴上时，∠APB＝30°，如图1，（注：为了说明点B和F重合，作的图形，不标准）

由（1）知，△AOC≌△ABP（SAS），

∴∠ABP＝∠OAC＝90°，

∵在等边三角形ACP中，∠CAP＝60°，

∵∠APB＝30°，

∴∠AFP＝90°，

∴点B和F重合，

∴AB＝AC＝AP，

∵OA＝AB，

∴OA＝AP，

过点P作PH⊥OA于H，

∴∠PAH＝60°，

∴AH＝AP，

∴AH＝OA，

∴AH＝2OA，

∵A（a，0），

∴OA＝a，

∴AH＝2a，

∴点P的横坐标为2a，

故答案为：﹣a或2a．