Question

如图所示，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．

（1）求证：△BCD是等腰直角三角形；

（2）若BD=8厘米，求AC的长．

Answer

（1）略 （2）4cm

【解析】

（1）要证△BCD是等腰直角三角形，只需证BC=DB，由已知BD⊥BC，EF⊥AB，可证∠2=∠3，由已知AC⊥BC，DB⊥BC，可证AC∥BD，得∠A=∠2，即可证得∠A=∠3，又已知∠ACB=∠EBD=90°，AB=DE，符合三角形全等的判定定理AAS，即可证得△ACB≌△EBD，所以BC=DB，即证△BCD是等腰直角三角形；

（2）由（1）知△ACB≌△EBD，得到AC=EB，又因为BD=8cm，即BC=8cm．又因为E是BC中点，故BE=4，即可求AC=4cm．

（1）如图所示，

∵BD⊥BC，EF⊥AB，

∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∵AC⊥BC，DB⊥BC，

∴AC∥BD，

∴∠A=∠2，

∴∠A=∠3，

∴又∠ACB=∠EBD=90°，AB=DE，

∴△ACB≌△EBD，

∴BC=DB，

∴△BCD是等腰直角三角形；

（2）由△ACB≌△EBD，

∴AC=EB，

∵BD=8cm，

∴BC=8cm．

∵E是BC中点，

∴BE=4cm，

∴AC=4（cm）．