Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N.

（1）求证：MN=AM+BN.

（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM.BN与MN之间有什么关系？请说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）MN=BN-AM

【解析】

试题（1）根据同角的余角相等可得∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，即可证得△AMC≌△CNB，从而可得AM=CN，MC=BN，即可得到结论；

（2）类似于（1）的方法，证得△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系．

∵∠C=90°

∴∠MCA+∠BCN=90°

∵AM⊥MN，BN⊥MN

∴∠AMC=∠CNB=90°

∴∠MAC+∠MCA=90°

∴∠MAC=∠BCN

在△AMC和△CNB中

∠MAC=∠BCN

∠AMC=∠CMB，

AC=BC

∴△AMC≌△CNB

∴AM=CN，MC=BN

∴MN=MC+CN=AM+BN

（2）（7分）答: MN=BN-AM

证明：∵∠AMC=∠BNC=90°，

∴∠ACM+∠NCB=90°，

∠NCB+∠CBN=90°，

故∠ACM=∠CBN，

在△AMC和△CNB中，

∠ACM=∠CBN

∠AMC=∠BNC=90°

AC=BC，

∴△AMC≌△CNB，

∴CM =BN，

CN=AM，

∴MN=CM-CN=BN-AM，

∴MN=BN-AM。