Question

已知关于x的方程x²＋ax＋b＝0（b≠0）与x²＋cx＋d＝0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根,且ab＝cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x²－x－6＝0与x²－2x－3＝0互为“同根轮换方程”．

（1）若关于x的方程x²＋4x＋m＝0与x²－6x＋n＝0互为“同根轮换方程”，求m的值；

（2）已知方程①：x²＋ax＋b＝0和方程②：x²＋2ax＋b＝0，p、q分别是方程①和方程②的实数根，且p≠q，b≠0．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a的代数式分别表示p和q；如果不能，请说明理由．

Answer

（1）；（2）能，①， ②， ③，

【解析】试题（1）根据方程x2+4x+m=0与x2-6x+n=0互为“同根轮换方程”，得到m、n之间的关系为4m=-6n．然后设t是公共根，则有t2+4t+m=0，t2-6t+n=0，于是得到结论；（2）根据x2-x-6=0与x2-2x-3=0互为“同根轮换方程”，得到它们的公共根是3，从而得到当p=q=-3a时，有9a2-3a2+b=0．解得，b=-6a2．解得，p=-3a，x1=2a；q=-3a，x2=a，从而证得方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+2ax+b=0互为“同根轮换方程”．

试题解析：(1)∵方程x2+4x+m=0与x2−6x+n=0互为“同根轮换方程”，

∴4m=−6n.  

设t是公共根,则有t2+4t+m=0,t2−6t+n=0.

解得,t=.

∵4m=−6n.∴t=−.         

∴(−)2+4(−)+m=0.

∴m=−12.

(2)∵x2−x−6=0与x2−2x−3=0互为“同根轮换方程”，

它们的公共根是3. 

而 3=(−3)×(−1)=−3×(−1).

又∵x2+x−6=0与x2+2x−3=0互为“同根轮换方程”。

它们的公共根是−3.

而−3=−3×1.

∴当p=q=−3a时，

有9a2−3a2+b=0.

解得：b=−6a2.

∴x2+ax−6a2=0，x2+2ax−3a2=0.

解得：p=−3a，x1=2a，q=−3a，x2=a.

∵b≠0，

∴−6a2≠0，

∴a≠0.

∴2a≠a.即x1≠x2.

又∵2a×b=ab，

∴方程x2+ax+b=0(b≠0)与x2+2ax+12b=0能为“同根轮换方程”，p=q=−3a.