Question

探究：如图①，在▱ABCD中，E为BC的中点，AE与BD相交于点M．求证：．

应用：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD相交于点M，连结AC．若ME＝3，则AC的长为　   　．

Answer

证明见解析 AC=9

【解析】

(1)根据四边形ABCD是平行四边形，从而得到线段间的位置关系，利用三角形相似即可解答.

(2)根据点E、F分别为AB、BC的中点，求出四边形BCDE为平行四边形，再利用中位线即可解答.

探究：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠EBM＝∠ADM，∠BEM＝∠DAM，

∴△EBM∽△ADM，

∴＝．

∵点E为BC的中点，

∴EB＝BC＝AD，

∴＝，

∴＝．

应用：【解析】
∵AB∥CD，AB＝2CD，点E为AB的中点，

∴BE＝AB＝CD，

∴四边形BCDE为平行四边形．

又∵点F为BC的中点，

∴＝．

∵ME＝3，

∴EF＝ME+MF＝3+＝．

∵点E、F分别为AB、BC的中点，

∴EF为△BAC的中位线，

∴AC＝2EF＝9．

故答案为：9．