Question

如图，∠MAN＝30°，点C、B分别在射线AM、AN上，AB＝6，∠ACB＝30°．动点P从点A出发，沿射线AN以每秒3个单位长度的速度运动．过点P作PQ⊥AN交射线AM于点Q，点E是线段AQ的中点，连结PE．设△PQE与△ABC重叠部分图形的面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒（t＞O）．

（1）求PQ的长（用含t的代数式表示）．

（2）当点Q在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．

（3）当△PQE与△ABC重叠部分图形是一个面积为的三角形时，求t的值．

Answer

（1） （2） （3）t＝1或t＝6﹣

【解析】

(1)在直角三角形根据正切公式直接求.

(2)分类讨论当t不同时，两者的关系，再综合描述即可.

(3) 分类讨论当t不同时，形成固定面积三角形时的t值即可.

【解析】
（1）在Rt△APQ中，∠MAN＝30°，AP＝3t，

∴PQ＝AP•tan∠MAN＝t；

（2）当0＜t≤2时，如图，

∵点E是线段AQ的中点，

S＝S△APQ＝×AP×PQ＝×3t×t＝t2，

当2＜t≤3时，如图2，

∵∠MAN＝30°，∠ACB＝30°，

∴∠CBP＝60°，

∵PQ⊥AN，点E是线段AQ的中点，

∴EA＝EP，

∴∠EPA＝∠A＝30°，

∴∠BGP＝90°，

由题意得，BP＝3t﹣6，

∴PG＝（3t﹣6），

∴GH＝×（3t﹣6）＝（3t﹣6），

∴S△PGH＝×GP×GH＝（3t﹣6）2，

∴S＝t2﹣（3t﹣6）2＝﹣t2+t﹣；

（3）当0＜t≤2时， t2＝，

解得，t1＝1，t2＝﹣1（不合题意，舍去），

当2＜t≤3时，△PQE与△ABC重叠部分图形是四边形．

当3＜t≤6时，S＝（6﹣t）2＝（6﹣t）2，

则（6﹣t）2＝，

解得，t1＝6﹣，t2＝6+（不合题意，舍去）．

综上，t＝1或t＝6﹣．