Question

如图AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D.

(1)求证：∠CDO＝∠BDO；

(2)若∠A＝30°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积(结果保留π)．

Answer

（1）见解析 （2）－

【解析】

(1)证明：AB切⊙O于点B，

∴OB⊥AB，即∠B＝90°.

又∴DC⊥OA，∴∠OCD＝90°.

在Rt△COD与Rt△BOD中，OD＝OD，OB＝OC，

∴Rt△COD≌Rt△BOD.

∴∠CDO＝∠BDO.

(2)在Rt△ABO中，∠A＝30°，OB＝4，

∴∠BOC＝60°，

∵Rt△COD≌Rt△BOD，

∴∠BOD＝30°，

∴BD＝OB·tan 30°＝.

∴S四边形OCDB＝2S△OBD＝2××4×＝.

∵∠BOC＝60°，

∴S扇形OBC＝＝.

∴S阴影＝S四边形OCDB－S扇形OBC＝－.