Question

如图，BC为⊙O的直径，A为⊙O上的点，以BC、AB为边作▱ABCD，⊙O交AD于点E，连结BE，点P为过点B的⊙O的切线上一点，连结PE，且满足∠PEA=∠ABE．

（1）求证：PB=PE；

（2）若sin∠P=， 求的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）；

【解析】

（1）根据切线的性质求得∠ABP=∠AEB，根据已知条件即可求得∠PBE=∠PEB，根据等角对等边即可证明结论；

（2）连接EC，延长DA交PB于F，根据平行弦的性质得出，进而求得AB=CE=CD，得出三角形CED是等腰三角形，在等腰三角形PBE中根据勾股定理求得BE的长，进而求得，由于∠AEB=∠EBC，∠ABP=∠AEB，得出∠ABP=∠EBC，从而得出∠PBE=∠ABC=∠D，求得△CDE∽△PBE，得出.

（1）证明：∵PB是⊙O的切线，

∴∠ABP=∠AEB，

∵∠PEA=∠ABE．

∴∠PBE=∠PEB，

∴PB=PE；

（2）连接EC，延长DA交PB于F，

∵PB是⊙O的切线，

∴BC⊥PB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴EF⊥PB，

∵sin∠P=，

设PE=5a，EF=3a，则PF=4a，

∵PB=PE=5a，

∴BF=a，

∴BE=，

∴，

∵AD∥BC，

∴，

∴AB=CE，

∵AB=CD，

∴CE=CD，

∴∠D=∠CED，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∵∠ABP=∠AEB，

∴∠ABP=∠EBC，

∴∠PBE=∠ABC，

∴∠PBE=∠D，

∵∠PBE=∠PEB，

∴△CDE∽△PBE，

∴.