Question

如图，在△ABC中，AB=6cm， AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

存在，t=3秒或4.8秒.理由见解析.

【解析】

首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．

解答：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）

设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，

此时，AM=t， CN=2t， AN=12-2t（0≤t≤6），

①当MN∥BC时，△AMN∽△ABC ，

则 ＝，即＝ ，

解得t=3；

②当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，

则 ＝，即=，

解得t=4.8；

故所求t的值为3秒或4.8秒．