Question

对于某一个函数，自变量x在规定的范围内，若任意取两个值x₁和x₂，它们的对应函数值分别为y₁和y₂． 若x₂＞x₁时，有y₂＞y₁，则称该函数单调递增；若x₂＞x₁时，有y₂＜y₁，则称该函数单调递减．例如二次函数y=x²，在x≥0时，该函数单调递增；在x≤0时，该函数单调递减．

（1）二次函数：y=（x+1）²+2自变量x在哪个范围内，该函数单调递减？

（2）证明：函数：y=x﹣在x＞1的函数范围内，该函数单调递增．

（3）若存在两个关于x的一次函数，分别记为：g=k₁x+b₁和h=k₂x+b₂，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减．记第三个一次函数y=g+h，则比例系数k₁和k₂满足何种条件时，函数y在实数范围内单调递增？

Answer

（1）x≤-1时，单调递减（2）证明见解析（3）一次函数y=g+h，则比例系数k1和k2满足k1＞0，k2＜0，k1+k2＞0时，函数y在实数范围内单调递增

【解析】

（1）根据a＞0，二次函数的自变量在对称轴左侧单调递减，可得答案；

（2）根据y随x的增大而增大，可得证明的结论；

（3）根据一次函数的性质，可得答案．

（1）y=（x+1）2+2自变量在x≤﹣1范围内，该函数单调递减；

（2）证明：任取 x2＞x1 ，

则=（x2﹣x1）+（）

=（x2﹣x1）+（）

因为x2＞x1 ， 所以y2＞y1

∴y=x﹣在x＞1的函数范围内，该函数单调递增；

（3）、g=k1x+b1和h=k2x+b2 ， 且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减，

∴k1＞0，k2＜0，

y=g+h

即y=（k1x+b1）+（k2x+b2）=（k1+k2）x+（b1+b2）

y=（k1+k2）x+（b1+b2）单调递增，

∴k1+k2＞0，

一次函数y=g+h，则比例系数k1和k2满足k1＞0，k2＜0，k1+k2＞0时，函数y在实数范围内单调递增．