Question

如图，四边形ACBE内接于⊙O，AB平分∠CAE，CD⊥AB交AB、AE分别于点H、D．

（1）如图①，求证：BD=BE；   

（2）如图②，若F是弧AC的中点，连接BF，交CD于点M，∠CMF=2∠CBF，连接FO、OC，求∠FOC的度数；   

（3）在（2）的条件下，连接OD，若BC=4，OD=7，求BF的长．

Answer

（1）详见解析；（2）∠FOC=60°；（3）BF=13．

【解析】

试题（1）如图1，连接半径OB、OC、OE，由角平分线得：∠CAB=∠BAE，在同圆或等圆中，圆周角相等，则所对的圆心角也相等，得∠COB=∠BOE，所以所对的弦相等：BC=BE，证明△ACH≌△ADH，AB为线段CD的垂直平分线，得BC=BD，则BD=BE；（2）由弧相等，所对的圆周角相等得：∠CBF=∠ABF，由已知中的∠CMF=2∠CBF，得∠BMH=2∠ABF，求得∠CBF=30°，所以∠FOC=2∠CBF=60°；（3）如图3，连接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，由（2）中的30°和BC=4分别求出：BH=2，CH=6，BM=4 HM=2，再证明△OMC≌△OMB，得∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，由DM=8可以求MK和DK的长，由勾股定理列式求OK=1，OM=5，求出BN的长，利用垂径定理可得结论：BF=2BN=13．

试题解析：（1）如图1，连接OB、OC、OE，

∵AB平分∠CAE，

∴∠CAB=∠BAE，

∴∠COB=∠BOE，

∴BC=BE，

∵CD⊥AB，

∴∠CHA=∠DHA=90°，

∵∠CAB=∠BAE，AH=AH，

∴△ACH≌△ADH，

∴CH=DH，

∴AB为线段CD的垂直平分线，

∴BC=BD，

∴BD=BE；

（2）∵F是弧AC的中点，

∴，

∴∠CBF=∠ABF，

∵∠CMF=2∠CBF，

∴∠CMF=2∠ABF，

∵CD⊥AB，∠CMF=∠BMH，

∴∠BMH+∠ABF=90°，

∴∠ABF=30°，

∴∠CBF=30°，

∵∠FOC=2∠CBF，

∴∠FOC=60°；

（3）如图3，连接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，

由（2）可知：∠CBF=∠ABF=∠BCH=30°，

∴CM=BM，

在Rt△CBH中，∠BCH=30°，BC=4，

∴BH=2，CH=6，

在Rt△BHM中，∠MBH=30°，BH=2，

∴BM=4 HM=2，

∴CM=BM=4，

∵OC=OB，OM=OM，

∴△OMC≌△OMB，

∴∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，

∵CH=DH=6，

∴DM=8，

在Rt△DMK中，∠KMD=60°，DM=8，

∴MK=4，DK=4，

在Rt△OKD中，

OD2=OK2+DK2，

∵OD=7，DK=4，

∴OK=1，

∴OM=5，

在Rt△OMN中，∠OMN=60°，OM=5，

MN=OM=，

∴BN=BM+MN=，

∵ON⊥BF，

∴BF=2BN=13．