Question

如图，矩形，过对角线的中点作的垂线交于，交于，连结、．

求证：四边形是菱形；

若，，求的长．

Answer

（1）详见解析；（2）1.

【解析】

（1）首先证明△EDO≌△FBO，则EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形DEBF是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判断；

（2）设AE=x，则BE=DE=3-x，在Rt△AEB中，根据勾股定理BE2=AE2+AB2，即可列方程求解．

证明：∵四边形是矩形，

∴，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

又∵，

∴平行四边形是菱形；

【解析】
设，则，而，

在中，根据勾股定理，

∴，

解得：，

∴．