Question

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是菱形；

（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE的形状是什么？说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）矩形，理由见解析.

【解析】

试题（1）根据矩形的性质求出OA=OD，证出四边形AODE是平行四边形即可；（2）根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可.

试题解析：（1）∵矩形ABCD的对角线相交于点O，

∴AC＝BD（矩形对角线相等），OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD（矩形对角线互相平分）.∴OA＝OD .

∵DE∥CA ，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.

∴四边形AODE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

（2）矩形，理由如下：

∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形.

∵菱形ABCD，∴AC⊥BD. ∴∠AOD=90°.

∴平行四边形AODE是矩形．