Question

问题情境:

在综合实践课上，张老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，张老师拿着一张矩形纸片ABCD，其中AB=acm, AD=bcm, 如图1，先沿对角线BD折叠，点C落在点E的位置，BE交AD于点F.

操作发现：

（1）“奋进”小组发现与BF的长度一定相等的线段是哪一条；

（2）如图2．“雄鹰”小组将图1再折叠一次，使点D与点A重合，得到折痕GH，GH交AD于点M，发现△DGH是等腰三角形，请你证明这个结论；

实践探究：

（3）“创新”小组将自己准备的矩形纸片按照（2）中“雄鹰”小组的作法操作，发现点E和点G重合，，如图3，试探究“创新”小组准备的矩形纸片中a与b满足的数量关系；

（4）”爱心”小组在其他小组的基础上提出问题：当a与b满足什么关系时，点G是DE的中点？请你直接出a与b满足的关系.

      

Answer

（1）BF=DF,（2）△DGH是等腰三角形,（3）b=(4)a=b

【解析】

（1）根据折叠的条件,证明△AFB≌△EFD(AAS)即可解题,

（2）找到对称轴,证明GH平行CD,利用内错角相等得∠GHD=∠HDC,由折叠得∠GDH=∠GHD,等量代换得∠GDH=∠GHD,等角对等边即可解题.

（3）在Rt△BED中利用斜边中线等于斜边一半,得BD=2EH,根据已知,用代数式表示出BD和EH的长即可解题,

（4）根据题意,证明四边形ABCD是正方形,即可直接写出a=b的结论.

解：（1）BF=DF,

由折叠可知:AB=DE,∠A=∠E,∠AFB=∠EFD,

∴△AFB≌△EFD(AAS)

∴BF=DF,

（2）由（1）可知∠GDH=∠HDC

由图可知：GH为对称轴,点D和点A关于GH对称,即GH垂直平分AD,

∵四边形ABCD是矩形,AD⊥CD,

∴GH∥CD,

∴∠GHD=∠HDC

∴∠GDH=∠GHD

∴△DGH是等腰三角形,

（3）由题可知,点H为对角线BD上的中点,EH=ED,

在Rt△BED中,BD=2EH（斜边中线等于斜边一半）

∵AB=acm, AD=bcm,

∴EH=ED=AB= a,BD=

∴=a,整理得：b=

(4)a=b

理由:根据题意可知,GH为中位线,GH∥EB,点A与E重合,此时图形为正方形,

故a=b