Question

如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．

（1）当m=4，n=20时．

①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．

②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．

Answer

（1）①直线AB的解析式为y=﹣x+3；理由见解析；②四边形ABCD是菱形，（2）四边形ABCD能是正方形，理由见解析.

【解析】（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；

②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；

（2）先确定出B（4，），进而得出A（4-t，+t），即：（4-t）（+t）=m，即可得出点D（4，8-），即可得出结论．

（1）①如图1，

∵m=4，

∴反比例函数为y=，当x=4时，y=1，

∴B（4，1），

当y=2时，

∴2=，

∴x=2，

∴A（2，2），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为y=-x+3；

②四边形ABCD是菱形，

理由如下：如图2，

由①知，B（4，1），

∵BD∥y轴，

∴D（4，5），

∵点P是线段BD的中点，

∴P（4，3），

当y=3时，由y=得，x=，

由y=得，x=，

∴PA=4-=，PC=-4=，

∴PA=PC，

∵PB=PD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵BD⊥AC，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）四边形ABCD能是正方形，

理由：当四边形ABCD是正方形，

∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），

当x=4时，y==，

∴B（4，），

∴A（4-t，+t），

∴（4-t）（+t）=m，

∴t=4-，

∴点D的纵坐标为+2t=+2（4-）=8-，

∴D（4，8-），

∴4（8-）=n，

∴m+n=32．