Question

（8分）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．

（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长．

（2）求证：ED是⊙O的切线．

Answer

（1）AC=10；（2）详见解析．

【解析】

试题（1）连接CD,根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDC=90°,即CD⊥AB．又因E为AC的中点，根据线段垂直平分线的性质即可得AC="BC=2OC" =10．（2）连接OD,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE=EC=AC,再由等边对等角可得∠1=∠2, ∠3=∠4,根据切线的性质定理可得AC⊥OC，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即可证得DE⊥OD，所以DE是⊙O的切线．

试题解析：

（1）连接CD,

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC=90°,即CD⊥AB,

∵AD=DB

∴AC=BC=2OC=10．

（2）连接OD,

∵∠ADC=90°,E为AC的中点，

∴DE=EC=AC, ∴∠1=∠2,

∵OD="OC," ∠3=∠4,

∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC．

∴∠1+∠3=∠2+∠4,即DE⊥OD,

∴DE是⊙O的切线．