Question

如图，抛物线y=﹣ x²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），且∠ACB=90°，tan∠BAC= ．

①求抛物线的解析式；

②若抛物线顶点为P，求四边形APCB的面积．

Answer

①y=﹣ x2﹣ x+ 2；②.

【解析】

①由y=-x2+bx+c=c，可求得C（0，c），由tan∠BAC=，可设A（-2c，0），B（c，0），把A（-2c，0），B（c，0）代入y=-x2+bx+c=c求得b，c，即可求得求抛物线的解析式；

②解方程-x2-x+=0可求得A，B点的坐标，由于四边形APCB的面积=S△AOP+S△POC+S△COB，根据三角形的面积公式即可求得结论．

①令x=0则y=﹣x2+bx+c=c，

∴C（0，c），

∵tan∠BAC= ，

∴A（﹣2c，0），

∠ACB=90°，

∴∠BCO=∠BAC，

∴OB=OC=c，

∴B（c，0），

把A（﹣2c，0），B（ c，0）代入y=﹣x2+bx+c=c，

得，

解得：，

求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+ 2；

②y=﹣ x2﹣ x+2=﹣（x+）2+，

∴P（﹣ ， ），

令﹣x2﹣x+2=0，解得：x1=﹣1，x2= ，

∴A（﹣4，0），B（ 1，0）

连接AP，PC，CB，PO，则四边形APCB的面积=S△AOP+S△POC+S△COB=×4×+×2×+ ×1×2=