Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上，且DE=DA，AE与BC相交于点F．

（1）求证：FD=DC；

（2）若AE=8，DE=5，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由切线的性质得BA⊥AC，则∠2+∠BAD=90°，再根据圆周角定理得∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，所以∠B=∠2，接着由DA=DE得到∠1=∠E，由圆周角定理得∠B=∠E，所以∠1=∠2，可判断AF=AC，根据等腰三角形的性质得FD=DC；
（2）作DH⊥AE于H，如图，根据等腰三角形的性质得AH=EH=AE=4，再根据勾股定理可计算出DH=3，然后证明△BDA∽△EHD，利用相似比可计算出AB=，从而可得⊙O的半径．

（1）证明：∵AC是⊙O的切线，

∴BA⊥AC，

∴∠2+∠BAD=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠B=∠2，

∵DA=DE，

∴∠1=∠E，

而∠B=∠E，

∴∠B=∠1，

∴∠1=∠2，

∴AF=AC，

而AD⊥CF，

∴FD=DC；

（2）【解析】
作DH⊥AE于H，如图，

∵DA=DE=5，

∴AH=EH=AE=4，

在Rt△DEH中，DH= =3，

∵∠B=∠E，∠ADB=∠DHE=90°，

∴△BDA∽△EHD，

∴=，即=，

∴AB=，

∴⊙O的半径为．