Question

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN

①试说明：；

②若∠ABC=60°，AM=4，求点M到AD的距离．

（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

Answer

(1)①见解析；②；（2）x为6或18-或12时，△ADN为等腰三角形．

【解析】试题（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，对角线平分一组对角可得∠BAN=∠DAN，然后利用“边角边”证明；

（2）根据有一个角是直角的菱形的正方形判断出四边形ABCD是正方形，再根据正方形的性质点M与点B、C重合时△ADN是等腰三角形；AN=AD时，利用勾股定理列式求出AC，再求出CN，然后求出△ADN和△CMN相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CM，然后求出BM即可得解．

试题解析：

（1）证明：在菱形ABCD中，AB=AD，∠BAN=∠DAN，

在△ABN和△ADN中，

∴△ABN≌△ADN（SAS）；

（2）∵∠ABC=90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴当x=6时，点M与点B重合，AN=DN，△ADN为等腰三角形，

当x=12时，点M与点C重合，AD=DN，△ADN为等腰三角形，

当AN=AD时，在Rt△ACD中，，

CN=AC-AN=，

∵正方形ABCD的边BC∥AD，

∴△ADN∽△CMN，

∴，

即，

解得CM=，

∴BM=BC-AM=6-（）=12-，

x=AB+BM=6+12-=18-，

综上所述，x为6或18-或12时，△ADN为等腰三角形．