Question

如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)已知BD＝2，CF＝2，求AE和BG的长．

Answer

（1）见解析；（2）AE＝6，BG＝

【解析】

（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；

（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得= ，由此构建方程即可解决问题；

(1)证明：如图，连接OD，AD.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.

∵AB＝AC，

∴BD＝CD.

又∵OA＝OB，

∴OD∥AC.

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴直线DF与⊙O相切．

(2)【解析】
如图，连接BE.

∵BD＝2，

∴CD＝BD＝2.

∵CF＝2，

∴DF＝，

∴BE＝2DF＝8.

∵cos∠C＝cos∠ABC，

∴，

∴＝，

∴AB＝10，

∴AE＝＝6.

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴BE∥GF，

∴△AEB∽△AFG，

∴=，

∴＝ ，

∴BG＝ .