Question

如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．

（1）求证：BD平分∠PBC；

（2）若⊙O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题（1）由∠PBD+∠OBD=90°，∠DBE+∠BDO=90°利用等角的余角相等即可得∠PBD=∠EBD，所以∠PBD=∠EBD；（2）利用面积法首先证明==，再证明△BEO∽△PEB，得=，即==，由此即可解决问题．

试题解析：（1）证明：连接OB．

∵PB是⊙O切线，

∴OB⊥PB，

∴∠PBO=90°，

∴∠PBD+∠OBD=90°，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵OP⊥BC，

∴∠BED=90°，

∴∠DBE+∠BDE=90°，

∴∠PBD=∠EBD，

∴BD平分∠PBC．

（2）【解析】
作DK⊥PB于K，

∵==，

∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，

∴DK=DE，

∴==，

∵∠OBE+∠PBE=90°，∠PBE+∠P=90°，

∴∠OBE=∠P，∵∠OEB=∠BEP=90°，

∴△BEO∽△PEB，

∴=，

∴==，

∵BO=1，

∴OE=，

∵OE⊥BC，

∴BE=EC，∵AO=OC，

∴AB=2OE=．